Penelitian ini dimaksudkan membangun beberapa skema aproksimasi untuk penyelesaian beberapa persamaan operator dengan menggunakan basis wavelet yang didasarkan pada metoda proyeksi. Penyelesaian persamaan operator diaproksimasi oleh suatu ansatz yang berupa kombinasi linear basis wavelet yang berasal dari fungsi skala yang membangun suatu analisis multiresolusi (AMR). Dua jenis basis wavelet pada interval yang digunakan adalah basis wavelet periodik dan basis wavelet restriksi. Pada penelitian ini dikaji secara mendalam sifat-sifat dan karakteristik basis wavelet pada interval. Untuk memberikan justifikasi pada skema aproksimasi yang dibangun, disusun beberapa teorema tentang keteraproksimasian secara tunggal persamaan operator oleh barisan aproksimasi dari persamaan proyeksi. Di sini dibahas tentang eksistensi ketunggalan penyelesaian persamaan proyeksi dan estimasi kesalahan menggunakan kuantitas terukur, seperti residual dan jarak antara penyelesaian dan ruang proyeksinya. Ditetapkan asumsi sehingga anggota AMR dapat dijadikan ruang proyeksi. Beberapa skema aproksimasi yang dibangun didasarkan pada bentuk dan jenis persamaan operator, basis wavelet pada interval yang tersedia dan metoda serta pendekatan yang digunakan. Beberapa skema aproksimasi yang dihasilkan pada penelitian ini adalah : 1. Penggunaan basis wavelet periodik untuk masalah syarat batas (MSB) non periodik. Caranya adalah dengan mengambil selisih derivatif pada kedua titik batas sebagai variabel tak diketahui. Kemudian diterapkan metoda Galerkin dengan pendekatan penelusupan domain dan formulasi langsung pada domain asal. 2. Untuk menangani MSB dengan syarat batas yang lebih umum digunakan basis wavelet restriksi dengan menerapkan metoda kolokasi. Dengan pertimbangan khusus, titik diadik pada [0; 1] diambil sebagai titik kolokasi. Secara umum, pada level yang sama, jumlah basis wavelet lebih banyak dari jumlah titik diadik pada [0; 1] sehingga diperlukan titik kolokasi tambahan. Untuk itu diperkenalkan dua strategi dalam memilih titik kolokasi tambahan. 3. Penggunaan basis wavelet periodik pada masalah nilai awal dan syarat batas (MNASB) tipe parabolik dengan menerapkan metode kolokasi semi diskrit. Di sini diasumsikan penyelesaian dan derivatif penyelesaiannya periodik. 4. Untuk menangani MNASB yang tidak periodik dilakukan dengan mendiskritisasi variabel waktu, baru kemudian menerapkan metoda kolokasi dengan basis wavelet restriksi. Pendekatan ini dikerjakan pada persamaan parabolik yang menghasilkan sistem persamaan linear (SPL) dan persamaan Burger tak homogen yang menghasilkan sistem persamaan tak linear (SPTL). 5. Penggunaan basis wavelet untuk menyelesaikan persamaan integral Fredhlom jenis kedua. Kernel persamaan integral ini disajikan dalam basis wavelet. Dalam kasus kernelnya periodik, digunakan basis wavelet periodik. Sedangkan bila kernelnya tidak periodik digunakan basis wavelet restriksi. Untuk melakukan realisasi numerik, disusun sejumlah algoritma dan fungsi MATLAB untuk menyelesaikan masalah komputasi wavelet yang diperlukan, yaitu evaluasi nilai fungsi dan derivatif basis wavelet pada titik-titik kolokasi, menghitung nilai koefisien koneksi, menghitung moment, dan menyusun formula quadrature untuk mengaproksimasi integral yang memuat perkalian suatu fungsi dan basis wavelet. Pada eksperimen numerik diambil sejumlah contoh berupa MSB dengan berbagai macam syarat batas dan persamaan integral Fredhlom jenis kedua dengan berbagai macam kasus. Berdasarkan beberapa contoh yang diambil, secara umum metoda proyeksi wavelet (MPW) memberikan hasil yang jauh lebih baik dari pada metoda selisih hingga (MSH) dan metoda elemen hingga (MEH), baik akurasinya maupun kecepatan konvergensinya. Basis wavelet Daubechies memberikan akurasi lebih baik dari basis wavelet B-spline, tetapi pola kesalahan menggunakan B-spline lebih konsisten.

This study is to build some approximation schemes for solution of the operator equations using the wavelets basis based on the projection method. The solution of operator equation is approximated by an ansatz defined by wavelets basis arising from the scaling function which generates a multiresolution analysis (MRA). We use two kind of wavelet basis on the interval that are the periodized and the restricted wavelet basis. We study deeply the properties and characteristics of the wavelet basis on the interval. In order to justify the approximation schemes, we create some theorems relating to the uniquely approximation-solvable of operator equation by some approximations sequence arising from the solution of projection equation. We are concerned with the existence of the uniqueness solution, the convergence of the approximation sequences and the error estimation using the measurable quantities, namely the residual and the distance between the solution and its projection space. We make the assumptions so that the element of MRA could be used as the projection space. We construct several approximation schemes depending on the form of operator equation, the available wavelet basis on the interval, and the methods as well as the approach of the approximation. 1. The application of the periodized wavelets to approximate the solution of non periodic boundary value problems (BPV). We take as unknowns the jumps of derivative on the end points. Then, we apply the Galerkin method together with the approach of embedding domain and the formulation on the domain directly. 2. The application of the restricted wavelets to approximate the solution of BVP with more general boundary conditions. We apply the collocation method where the dyadic points on [0; 1] are taken as the collocation points. Generally, on the same level, the number of the restricted wavelets basis more than the number of dyadic points on [0; 1] so that we need the additional collocation points. We introduce two strategies to choose such additional collocation points. 3. Using the semi discrete collocation method, we approximate the solution of initial and boundary value problems (IVBP) of parabolic type. We assume that the solution and its derivative are periodic. 4. In the case where the IVBP is non periodic, we discretize the time variable and then apply the collocation method with restricted wavelet basis. This approach be applied on the parabolic equation to produce a linear system of equations. The similar approach also be adjusted in the Burger equation to produce a non linear system of equations. 5. The application of wavelets to approximate the solution of Fredhlom integral equation of second kind. The kernel of equation is represented by the wavelets basis. If the kernel is periodic we use the periodized wavelet. Otherwise, we use the restricted wavelets basis. In order to do some numerical realizations, we compose some algorithms and their MATLAB functions relating to the wavelet computation. These include evaluating the wavelet function and its derivatives on the dyadic points, calculating the connection coefficients, calculating the moments, and approximating the integral including the product of any function and wavelet basis. Finally, in the numerical experiments, we carry out some examples of BVP with various boundary conditions as well as the integral equation of second kind with some possible cases. Based on these results, the wavelet projection method gives much better results than the finite element method and the finite difference method, especially the accurateness and the convergence rate. The Daubechies wavelet gives more accurate result than B-spline wavelet, but the error behavior using B-spline wavelet is more consistent.

Kata Kunci : Skema Aproksimasi,Persamaan Operator,Proyeksi Wavelet